संसर्गाच्या वाढीचे गणित

विषाणूंमुळे होणाऱ्या संसर्गाचा प्रसार कसा होतो, याचा अभ्यास रोगावरील लस शोधण्याइतकाच महत्त्वाचा आहे. लॉकडाउन, विलगीकरण आणि चाचण्या यांमुळे बाधितांची संख्या हाताबाहेर जाण्यापासून रोखता येते, ही बाब विषाणू प्रादुर्भावाच्या संदर्भात विकसित केलेल्या प्रतिमानातून स्पष्ट झाली आहे. 

बातम्या ऐकण्यासाठी डाऊनलोड करा ई-सकाळचे ऍप

आपल्यापैकी अनेकांनी बुद्धिबळाच्या शोधाची गोष्ट ऐकली असेल. शोध लावणारा राजाकडे बक्षीस म्हणून बुद्धिबळाच्या पटाच्या पहिल्या घरासाठी गव्हाचा एक दाणा, दुसऱ्या घरासाठी दोन, तिसऱ्या घरासाठी चार, चौथ्यासाठी आठ असे प्रत्येक वेळी दुप्पट होत जाणारे दाणे मागतो. राजा यावर राज्याची धान्यभांडारे भरलेली आहेत, असे सांगतो. मात्र नंतर हे स्पष्ट होते, की राज्यातच काय, पण संपूर्ण जगातसुद्धा एवढा धान्यसाठा नाही की जो त्या शोधकाची इच्छा पूर्ण करू शकेल! प्रत्येक वेळी दुप्पट करण्याची प्रकिया अत्यंत वेगाने सुरुवातीची संख्या वाढवते आणि त्यामुळे जणू काही अचानक मोठी वाढ झाल्याचे वाटते. उदा. सुरुवातीची संख्या 16 असेल आणि प्रत्येक दिवशी चार पटीने वाढ होत असेल, तर 16, 64, 256, 1024 आणि 4096 अशा संख्या मिळतील. यामुळे शेवटच्या दिवशी काहीतरी विचित्र होऊन संख्या अचानक 3072 ने वाढल्याचा आभास होतो. गणितात याला "एक्‍स्पोनेन्शल वाढ' म्हटले जाते. "कोरोना'सारखी साथ पसरतानाही सुरुवातीला असेच काहीसे होते. त्यामुळे सुरुवातीला साथीची गंभीरता लक्षात येत नाही आणि मग अचानक रुग्णांची संख्या प्रचंड वाढल्याचे दिसते. बऱ्याचदा आपण याचे खापर कशावर तरी फोडून मोकळे होतो, परंतु हा "एक्‍स्पोनेन्शल वाढी'चा गुणधर्म आहे. पण समजा की ज्या पटीने वाढ होते आहे, ती संख्या एक पेक्षा कमी असेल तर? मग 16 ने सुरुवात केली आणि प्रत्येक दिवशी संख्या अर्ध्याने वाढते आहे, असे धरले तर 16, 8, 4, 2 आणि 1 असे आकडे मिळतील आणि दिवसेंदिवस संख्या कमी होत जाईल! साथीच्या रोगांसाठी असे करता येईल काय? विषाणूंमुळे होणाऱ्या सांसर्गिक रोगांचा प्रसार कसा होतो, याच्या अभ्यासाला "एपिडेमिओलॉजी' म्हटले जाते आणि रोगावरील लस शोधण्याइतकाच हासुद्धा अभ्यास महत्त्वाचा आहे. 

साथ असताना बऱ्याचदा प्रत्येक दिवशी अगोदरच्या दिवसापेक्षा जास्त संसर्गित झाल्याचे दिसते. याचे कारण म्हणजे संसर्गित व्यक्ती निरोगी व्यक्तींच्या संपर्कात येतात आणि एक संसर्गित स्वत: बरा होण्याअगोदर साधारणत: चार लोकांना बाधित करत असेल, तर संसर्गितांची संख्या "एक्‍सपोनेन्शल'सारखी वाढेल. या पटीला "एपिडेमिओलॉजी'च्या भाषेत "आर-नॉट' म्हणतात; म्हणजे "आर-नॉट' चार आहे. पण सर्वांनी एकमेकांशी संपर्क अचानक कमी केला, असे झाले तर "आर-नॉट' कमी होईल आणि संसर्गितांची संख्या हळू वाढेल. आपल्याला "आर-नॉट' एक पेक्षा खाली आणता आला, तर साथ पसरणारच नाही! मात्र हे करणे जवळपास अशक्‍य असते. लॉकडाउन म्हणजे "आर-नॉट' कमी करण्याचा एक उपाय आहे आणि त्यामुळे त्याचे गंभीरतेने पालन करायला हवे. 

संसर्गिताकडून निरोगी व्यक्तीमध्ये विषाणूचा शिरकाव झाला आणि तिच्या शरीरात विषाणूची संख्या वाढली, तर त्या व्यक्तीच्या जिवाला धोका निर्माण होईलच असे नाही. अशी व्यक्ती केवळ विषाणूचा वाहक किंवा "कॅरिअर' बनू शकते. अशी व्यक्ती स्वत: आजारी पडली नाही, तरी विषाणू इतर निरोगी लोकांपर्यंत पोहोचवू शकते आणि रोगप्रसाराला कारण ठरते. विषाणूमुळे आजारी पडलेली व्यक्तीसुद्धा रोगप्रसाराला मदत करते. याचाच अर्थ असा, की विषाणूच्या प्रसाराला आळा घालायचा असेल, तर निरोगी आणि संसर्गित व्यक्तींचा संपर्क कमी करता येईल, तेवढा करायला हवा. संशोधक हा संपर्क कसा कमी करता येईल, याच्या पद्धती शोधत असतात आणि त्या किती परिणामकारक ठरतात याचे संशोधन करतात. जगभरात अनेक संशोधक शंभर वर्षांपासून गणिती प्रारूपांच्या मदतीने सांसर्गिक रोग कसे पसरतात याचा अभ्यास करत आहेत. अशा प्रारूपांमध्ये एखाद्या शहराची किंवा राज्याची लोकसंख्या वेगवेगळ्या भागांमध्ये विभागली जाते. उदाहरणार्थ, सर्व व्यक्तींना निरोगी, संसर्गित आणि रोगमुक्त अशा भागांमध्ये विभागले आणि निरोगी व संसर्गित व्यक्ती साधारणपणे किती एकमेकांच्या संपर्कात येतात, त्याचप्रमाणे संसर्गित लोक किती पटकन बरे होतात, हे शोधले तर संसर्गितांची संख्या कशी वाढेल किंवा कमी होईल, याचा अंदाज बांधता येईल. 

सावित्रीबाई फुले पुणे विद्यापीठातील "सेंटर फॉर मॉडेलिंग अँड सिम्युलेशन'मध्ये आम्ही वेगवेगळ्या गोष्टींची गणितीय आणि संगणकीय प्रतिमाने बनवत असतो. चीन आणि युरोपमध्ये "कोरोना'ने भयंकर रूप धारण केले त्यावेळेस हे स्पष्ट झाले होते की आज ना उद्या हे संकट भारतावरसुद्धा येणार. त्यामुळे करोना भारतात कसा पसरू शकतो, याचे गणितीय प्रतिमान तयार करण्याचे आम्ही ठरवले. यामागील मुख्य उद्देश हा वेळीच सरकारला योग्य पावले उचलायला मदत करणे हा होता. सुरुवातीला देशातील 300 पेक्षा जास्त शहरांची लोकसंख्या विचारात घेऊन त्यांसाठी आम्ही विषाणू प्रसाराचे प्रतिमान विकसित केले. विविध शहरे एकमेकांना रस्ते, लोहमार्ग आणि हवाई मार्गांनी जोडलेली असतात. रस्त्यांच्या या जाळ्यामुळे एका शहरातील काही व्यक्ती विषाणू संसर्गित झाल्या, तरी तो संसर्ग इतर शहरांमध्ये पसरतो. असे समजू की परदेशातून संसर्गित होऊन काही व्यक्ती मुंबईत आल्या व त्यांनी काही निरोगी व्यक्तींना संसर्गित केले. आता या संसर्गितांपैकी काही दुसऱ्या शहरांमध्ये गेल्या, तर त्या तिथल्या व्यक्तींना संसर्गित करतील. अशा प्रकारे वाहतुकीच्या जाळ्याची मदत विषाणू पसरायला होईल. यातील महत्त्वाचा भाग म्हणजे या जाळ्याची रचना कशी आहे, यावर रोगाचा प्रसार कसा होईल हे अवलंबून असेल. त्यामुळे आम्ही रोगप्रसारांची प्रारूपे आणि वाहतुकीचे जाळे यांना एकत्र करून वाहतुकीच्या जाळ्यामुळे "कोरोना' किंवा इतर संसर्ग वेगवेगळ्या शहरांत कसा पसरेल, याचे प्रारूप तयार केले. त्यानंतर सुरुवातीला कोणत्या शहरांमध्ये आणि किती संसर्गित रूग्ण आहेत, याचे अंदाज बांधून हे गणितीय प्रारूप संगणकावर सोडवले. यात सर्वांत मोठी गोष्ट आढळून आली ती म्हणजे देशात काही प्रमाणात रुग्ण असतील, तर देशांतर्गत वाहतूक बंद करणे महत्त्वाचे ठरते; केवळ आंतरराष्ट्रीय सीमा बंद करणे पुरेसे नाही. आमचे संशोधन प्रकाशित झाल्यावर काहीच दिवसांत देशातील विमानसेवा आणि रेल्वेसेवा स्थगित करण्यात आली. यामुळे "कोरोना'च्या प्रसाराचा वेग मोठ्या प्रमाणावर मंदावला, असे आमचे मत आहे. 

आमच्याप्रमाणेच देशातील इतर संशोधकांनी "कोरोना'शी कसा लढा देता येईल, याबाबत संशोधन सुरू केले होते. यात विषाणूचे जैवशास्त्रीय विश्‍लेषण, विषाणूच्या प्रसाराबद्दलचा डेटा आणि प्रसाराबद्दलची गणितीय प्रतिमाने तयार करणे आदी गोष्टींचा समावेश आहे. आता सर्व संशोधकांनी एकत्र येत "इंडियन सायंटिस्ट्‌स रिस्पॉन्स टू कोविड' हा चमू तयार केला आहे. आम्ही गणितीय प्रतिमानाचे काम केलेले असल्यामुळे याबद्दलच्या पुढच्या कामाची जबाबदारी सावित्रीबाई फुले पुणे विद्यापीठाकडे सोपवण्यात आली आहे. यातील सध्या चालू असलेले मोठे काम म्हणजे लॉकडाउन आणि "कोरोना'च्या तपासण्या यांचा अभ्यास. यातून निघालेला महत्त्वाचा निष्कर्ष म्हणजे मोठ्या प्रमाणावर चाचण्या करून बाधितांचा शोध घेऊन त्यांना क्वारंटाईन करणे हे लॉकडाउनइतकेच गरजेचे आहे. लॉकडाउनमुळे एकमेकांशी संपर्क कमी होतो आणि त्यामुळे रुग्ण निरोगी व्यक्तींना संसर्ग करण्याची शक्‍यता कमी होते. दुसरीकडे आपण तपासण्या करून रुग्णांना शोधू शकलो, तर त्यांना क्वारंटाईन केल्याने प्रसार मोठ्या प्रमाणावर कमी होतो आणि लॉकडाउन बराच कमी करता येतो. लॉकडाउन आणि चाचण्या केल्या किंवा केल्या नाहीत, याचा गणितीय प्रतिमानातून दिसलेला परिणाम सोबतचा चित्रात दाखवला आहे. काळजी घेतली नसती, तर लाखो लोकांना विषाणूचा प्रादुर्भाव झाला असता. (गडद रंग असलेला आलेख). याउलट लॉकडाउन, विलगीकरण आणि चाचण्या यांमुळे हीच संख्या आपण हाताबाहेर जाण्यापासून वाचवू शकतो. (फिका रंग असलेला आलेख). त्यामुळे आता सरकार मोठ्या प्रमाणावर तपासण्या वाढवेल आणि "कोरोना'चा प्रादुर्भाव थांबेल अशी आशा करूया. 

(लेखक सेंटर फॉर मॉडेलिंग अँड सिम्युलेशन, सावित्रीबाई फुले पुणे विद्यापीठ येथे कार्यरत आहेत.)